SEBA Class 10 Maths Revision Summary And Explanation | পুনৰালোচনা Maths Class 10 | Assam HSLC

মূল ধাৰণাসমূহ

• সমানুপাত: দুটা অনুপাত সমান হোৱা বুজোয়। যদি \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) হয়, তেন্তে \( a, b, c, d \) সমানুপাতত আছে বুলি কোৱা হ’ব। আৰু ইয়াক \( a:b::c:d \) হিচাপেও লিখা হয়।
• বজ্ৰপুৰণ নিয়ম: যদি \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), তেন্তে প্ৰান্ত দুটাৰ পুৰণফল = মাধ্য দুটাৰ পুৰণফল, অৰ্থাৎ
  \[ a \cdot d = b \cdot c \]
• প্ৰত্যক্ষ সমানুপাত: যদি \( x \) বাঢ়ে, তেন্তে \( y \) ও সেই অনুপাতে বাঢ়ে, অৰ্থাৎ
  \[ \frac{x}{y} = k \]
  (ধ্ৰুৱক), ইয়াক \( x \propto y \) বুলি লিখা হয়।
• ব্যস্তানুপাত: যদি \( x \) বাঢ়িলে \( y \) কমে বা \( x \) কমিলে \( y \) বাঢ়ে, তেন্তে
  \[ x \cdot y = k \]
  (ধ্ৰুৱক), ইয়াক \( x \propto \frac{1}{y} \) বুলি লিখা হয়।

উদাহৰণসমূহ

সমাধানৰ লিংক: View Proportion Solutions

মূল কথা

• সমানুপাতৰ ধাৰণা বাস্তৱ জীৱনৰ সমস্যা সমাধানৰ বাবে অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ। প্ৰত্যক্ষ আৰু ব্যস্তানুপাতৰ পাৰ্থক্য ভালদৰে বুজি ল’বা।
• বৰ্গ আৰু ঘনৰ তালিকা (1ৰ পৰা 20লৈ) মুখস্থ কৰিলে অঙ্ক কৰাত সুবিধা হ’ব।
• মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ পদ্ধতিৰে বৰ্গমূল আৰু ঘনমূল নিৰ্ণয়ৰ অভ্যাস কৰা।
• উদাহৰণসমূহ ভালদৰে অধ্যয়ন কৰি বাৰে বাৰে অনুশীলন কৰি ধাৰণাসমূহ স্পষ্ট কৰি ল’বা।

মূল ধাৰণাসমূহ

• পূৰ্ণবৰ্গ সংখ্যা: যদি কোনো সংখ্যা \( n^2 \) হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, য’ত \( n \) এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা, তেন্তে সেই সংখ্যাটো এটা পূৰ্ণবৰ্গ সংখ্যা হ’ব।
  উদাহৰণ: \( 4 = 2^2, 9 = 3^2, 16 = 4^2, 25 = 5^2 \)
• এককৰ স্থান: সকলো পূৰ্ণবৰ্গ সংখ্যাৰ এককৰ স্থানত কেৱল \( 0, 1, 4, 5, 6, 9 \) থাকিব পাৰে।
  উদাহৰণ: \( 16 \) (এককৰ স্থান 6), \( 25 \) (এককৰ স্থান 5)
• শূন্যৰ সংখ্যা: পূৰ্ণবৰ্গ সংখ্যাৰ শেষত যুগ্ম সংখ্যক শূন্য থাকিব পাৰে।
  উদাহৰণ: \( 100 = 10^2, 160000 = 400^2 \)
• বৰ্গমূল: ই বৰ্গৰ বিপৰীত প্ৰক্ৰিয়া। যদি \( a^2 = b \), তেন্তে
  \[ \sqrt{b} = a \]
  • প্ৰতিটো পূৰ্ণবৰ্গৰ দুটা বৰ্গমূল থাকে: এটা ধনাত্মক, আনটো ঋণাত্মক (মানত সমান)।
  • \( \sqrt{} \) প্ৰতীকে ধনাত্মক বৰ্গমূলক বুজায়।
  • উদাহৰণ: \( \sqrt{49} = 7 \) (নহয় \(-7\))।
• স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংখ্যা: \( n^2 \) আৰু \( (n+1)^2 \)ৰ মাজত \( 2n \) টা স্বাভাৱিক সংখ্যা থাকে।
  উদাহৰণ: \( 11^2 = 121, 12^2 = 144 \), মাজত \( 2 \cdot 11 = 22 \) টা সংখ্যা আছে।

উদাহৰণসমূহ

সমাধানৰ লিংক: View Square and Square Root Solutions

মূল ধাৰণাসমূহ

• ঘন: কোনো সংখ্যাক তিনিবাৰ গুণ কৰিলে পোৱা ফলক সেই সংখ্যাৰ ঘন বোলা হয়। যদি \( a \) এটা সংখ্যা, তেতিয়া
  \[ a^3 = a \cdot a \cdot a \]
  উদাহৰণ: \( 1^3 = 1, 2^3 = 8, 3^3 = 27 \)
• পূৰ্ণঘন: যদি কোনো সংখ্যাৰ মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণত প্ৰতিটো উৎপাদক তিনিবাৰকৈ আহে, তেন্তে সেই সংখ্যাটো এটা পূৰ্ণঘন সংখ্যা।
  উদাহৰণ: \( 27 = 3^3, 125 = 5^3 \)
• ঘনমূল: ই ঘনৰ বিপৰীত প্ৰক্ৰিয়া। যদি \( b^3 = a \), তেন্তে
  \[ \sqrt[3]{a} = b \]
  \( \sqrt[3]{} \) প্ৰতীকে ঘনমূলক বুজায়।
  উদাহৰণ: \( \sqrt[3]{27} = 3, \sqrt[3]{125} = 5 \)
• সহায়ক তালিকা (1ৰ পৰা 10লৈ):

  \( n \)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
  \( n^2 \)	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
  \( n^3 \)	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000

  (ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলে 11ৰ পৰা 20লৈ নিজে তালিকা প্ৰস্তুত কৰি মুখস্থ কৰিব।)

উদাহৰণসমূহ

সমাধানৰ লিংক: View Cube Solutions

মূল ধাৰণাসমূহ

• সূচকৰ ব্যৱহাৰ:
  • কোনো সংখ্যা বাৰে বাৰে গুণ কৰাৰ সময়ত সূচক ব্যৱহাৰ কৰি সংখ্যাটোক সংক্ষিপ্ত ৰূপত প্ৰকাশ কৰা হয়।
    উদাহৰণ: \( 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 \)
  • অতি ডাঙৰ বা অতি সৰু সংখ্যাক সংক্ষিপ্তভাৱে প্ৰকাশ কৰিবলৈ সূচক ব্যৱহাৰ কৰা হয়।
  • সূচকৰ ৰূপত সংখ্যা পঢ়া, লিখা আৰু তুলনা কৰা সহজ হয়।
• সংজ্ঞা: যদি
  \[ 10^4 = 10000 \]
  তেন্তে 10 হৈছে ভূমি, 4 হৈছে সূচক, আৰু \( 10^4 \) হৈছে 10ৰ চতুৰ্থ ঘাত।
• সূচকৰ নিয়ম (যিকোনো অশূন্য অখণ্ড সংখ্যা \( a, b \) আৰু সূচক \( m, n \)ৰ বাবে):
  • \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
  • \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
  • \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
  • \( a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m \)
  • \( \frac{a^m}{b^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^m \)
  • \( a^0 = 1 \) (শূন্য সূচক)
  • \( (-1)^n = 1 \) (যদি \( n \) যুগ্ম হয়), \( (-1)^n = -1 \) (যদি \( n \) অযুগ্ম হয়)
  • \( a^{-1} = \frac{1}{a} \), \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \) (ঋণাত্মক সূচক)
• প্ৰামাণিক ৰূপ: অতি ডাঙৰ বা সৰু সংখ্যাক \( K \cdot 10^n \) ৰূপত প্ৰকাশ কৰা হয়, য’ত \( 1 \leq K < 10 \) আৰু \( n \) এটা অখণ্ড সংখ্যা।
  উদাহৰণ: \( 23000 = 2.3 \cdot 10^4 \), \( 0.0023 = 2.3 \cdot 10^{-3} \)

উদাহৰণসমূহ

সমাধানৰ লিংক: View Indices Solutions

মূল ধাৰণাসমূহ

• উৎপাদক: কোনো অখণ্ড সংখ্যাক তাতকৈ সৰু বা সমান অখণ্ড সংখ্যাৰে সম্পূৰ্ণৰূপে ভাগ কৰিব পৰা সংখ্যাকেই উৎপাদক বোলা হয়।
  উদাহৰণ: 24ৰ উৎপাদক হ’ল 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24।
• মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ: যেতিয়া কোনো সংখ্যাক মৌলিক সংখ্যাৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰা হয়।
  উদাহৰণ: \( 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 \)
• বীজগণিতীয় ৰাশিৰ উৎপাদক: বীজগণিতীয় ৰাশিক তাৰ উৎপাদকৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰা।
  উদাহৰণ: \( 5xy \)ৰ উৎপাদক হ’ল 5, \( x \), \( y \), \( 5x \), \( 5y \), \( xy \), \( 5xy \)
• বীজগণিতীয় উৎপাদকৰ পাৰ্থক্য: মৌলিক উৎপাদক বুলিলে ভুল হ’ব, কাৰণ \( x \) আৰু \( y \) মৌলিক নহয়।
• বিতৰণ বিধি: সাধাৰণ উৎপাদক উলিয়াই বীজগণিতীয় ৰাশিৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা হয়।
  উদাহৰণ: \( 2xy + 2y = 2y(x + 1) \)
• গোট সজোৱা: বীজগণিতীয় ৰাশিক উপযুক্ত গোটত সজাই উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা হয়।
  উদাহৰণ: \( a^2 + ab + 9a + 9b = (a + b)(a + 9) \)
• অভেদসমূহ:
  • \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \)
  • \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \)
  • \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \)
  • \( x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) \)
• বীজগণিতীয় বিভাজন: ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ। উৎপাদক বিশ্লেষণৰ ক্ষেত্ৰত ভাগশেষ শূন্য হ’ব লাগিব।

উদাহৰণসমূহ

সমাধানৰ লিংক: View Factorisation Solutions

পৰিমিতি হৈছে জ্যামিতিক আকৃতিৰ পৰিসীমা, কালি, পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তন নিৰ্ণয়ৰ বিজ্ঞান।

১. সমতলীয় আকৃতিৰ পৰিসীমা (Perimeter)

পৰিসীমা হৈছে এটা আকৃতিৰ বাহিৰৰ সীমাৰ মুঠ দৈৰ্ঘ্য।

• বৰ্গ:
  • পৰিসীমা = 4 × বাহু
  • উদাহৰণ: বাহু = 4 cm, পৰিসীমা = 4 × 4 = 16 cm.
• আয়ত:
  • পৰিসীমা = 2 × (দৈৰ্ঘ্য + প্ৰস্থ)
  • উদাহৰণ: দৈৰ্ঘ্য = 6 cm, প্ৰস্থ = 4 cm, পৰিসীমা = 2 × (6 + 4) = 20 cm.
• বৃত্ত:
  • পৰিধি = \( 2\pi r \) (ইয়াত \( r \) = ব্যাসাৰ্দ্ধ)
  • উদাহৰণ: \( r = 2 \) cm,
    \[ 2 \times \frac{22}{7} \times 2 = \frac{88}{7} \text{ cm} \]

২. সমতলীয় আকৃতিৰ কালি (Area)

কালি হৈছে আকৃতিৰ ভিতৰৰ অঞ্চলৰ পৰিমাণ।

• বৰ্গ:
  • কালি = বাহু²
  • উদাহৰণ: বাহু = 5 cm,
    \[ 5^2 = 25 \text{ বৰ্গ cm} \]
• আয়ত:
  • কালি = দৈৰ্ঘ্য × প্ৰস্থ
  • উদাহৰণ: দৈৰ্ঘ্য = 8 cm, প্ৰস্থ = 3 cm, কালি = 8 × 3 = 24 বৰ্গ cm.
• ত্ৰিভুজ:
  • কালি = \( \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} \)
  • উদাহৰণ: ভূমি = 6 cm, উচ্চতা = 4 cm,
    \[ \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 \text{ বৰ্গ cm} \]
• বৃত্ত:
  • কালি = \( \pi r^2 \)
  • উদাহৰণ: \( r = 7 \) cm,
    \[ \frac{22}{7} \times 7^2 = 154 \text{ বৰ্গ cm} \]

৩. ত্ৰিমাত্ৰিক আকৃতিৰ পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তন

• ঘনক (Cube):
  • পৃষ্ঠকালি = \( 6 \times \text{বাহু}^2 \)
  • আয়তন = বাহু³
  • উদাহৰণ: বাহু = 3 cm,
    \[ \text{পৃষ্ঠকালি} = 6 \times 3^2 = 54 \text{ বৰ্গ cm} \] \[ \text{আয়তন} = 3^3 = 27 \text{ ঘন cm} \]
• আয়তীয় ঘনক (Cuboid):
  • পৃষ্ঠকালি = 2 × (lb + bh + hl)
  • আয়তন = দৈৰ্ঘ্য × প্ৰস্থ × উচ্চতা
  • উদাহৰণ: দৈৰ্ঘ্য = 8 cm, প্ৰস্থ = 5 cm, উচ্চতা = 2 cm,
    \[ \text{পৃষ্ঠকালি} = 2 \times (8 \times 5 + 5 \times 2 + 2 \times 8) \] \[ \implies 2 \times (40 + 10 + 16) \] \[ \implies 2 \times 66 = 132 \text{ বৰ্গ cm} \] \[ \text{আয়তন} = 8 \times 5 \times 2 = 80 \text{ ঘন cm} \]
• চুঙা (Cylinder):
  • পৃষ্ঠকালি = \( 2\pi r (r + h) \)
  • আয়তন = \( \pi r^2 h \)
  • উদাহৰণ: \( r = 7 \) cm, \( h = 10 \) cm,
    \[ \text{পৃষ্ঠকালি} = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + 10) \] \[ \implies 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 17 \] \[ \implies 748 \text{ বৰ্গ cm} \] \[ \text{আয়তন} = \frac{22}{7} \times 7^2 \times 10 \] \[ \implies \frac{22}{7} \times 49 \times 10 \] \[ \implies 1540 \text{ ঘন cm} \]

উদাহৰণ সমাধান

সমাধানৰ লিংক: View Mensuration Solutions